Скольжение без трения
Дано
\( \alpha = 30° \)
\( v_0 = 0 \)
\( t = 2 \) с
\( g = 10 \) м/с²
Найти
\( a \) — ?
\( v \) — ?
Шаг 1. Ускорение
Без трения ускорение равно проекции g на плоскость:
Шаг 2. Скорость
\( v = v_0 + at = 0 + 5 \cdot 2 = 10 \) м/с
Скольжение с трением
Дано
\( m = 2 \) кг
\( \alpha = 45° \)
\( \mu = 0.3 \)
\( g = 10 \) м/с²
Найти
\( a \) — ?
Шаг 1. Силы вдоль плоскости
Скатывающая сила: \( F_{||} = mg \sin\alpha \)
Сила трения: \( F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha \)
Шаг 2. Уравнение движения
\( ma = mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha \)
Шаг 3. Подстановка
\( \sin 45° = \cos 45° = 0.707 \)
\( a = 10 \cdot (0.707 - 0.3 \cdot 0.707) = 10 \cdot 0.707 \cdot 0.7 \approx 4.95 \) м/с²
Типичные ошибки
- Перепутать sin и cos при проекциях
- Сила трения направлена против движения!
Условие равновесия
Дано
\( \mu = 0.5 \)
Найти
\( \alpha_{кр} \) — ?
Шаг 1. Условие равновесия
Тело покоится, пока скатывающая сила не превысит силу трения:
\( mg \sin\alpha \leq \mu mg \cos\alpha \)
Шаг 2. Критический угол
При \( \sin\alpha = \mu \cos\alpha \):
\( \alpha_{кр} = \arctan(0.5) \approx 26.6° \)
Важно помнить
- При α > arctan(μ) тело скользит вниз
- Критический угол не зависит от массы тела!
Подъём по наклонной плоскости
Дано
\( v_0 = 8 \) м/с
\( \alpha = 30° \)
\( \mu = 0.2 \)
\( g = 10 \) м/с²
Найти
\( s \) — ?
Шаг 1. Ускорение при подъёме
При движении вверх трение и скатывающая сила направлены вниз:
\( a = 10 \cdot (0.5 + 0.2 \cdot 0.866) = 10 \cdot (0.5 + 0.173) = 6.73 \) м/с²
Шаг 2. Путь до остановки
В верхней точке v = 0:
\( v^2 = v_0^2 - 2as \)
\( s = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{64}{2 \cdot 6.73} = \frac{64}{13.46} \approx 4.76 \) м
Шаг 3. Высота подъёма
\( h = s \sin\alpha = 4.76 \cdot 0.5 \approx 2.38 \) м