Энергия — одно из ключевых понятий физики. Понимание кинетической и потенциальной энергии необходимо для решения задач ЕГЭ на законы сохранения, которые встречаются как в первой, так и во второй части экзамена.
В этой статье разберём, что такое энергия, откуда берутся формулы, и как применять их на практике.
Что такое энергия?
Энергия — это физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу. Если тело может совершить работу, значит, оно обладает энергией.
Важно понимать: энергия не существует сама по себе — она всегда связана с каким-то телом или системой тел. Энергия измеряется в джоулях (Дж), как и работа.
Кинетическая энергия
Определение
Кинетическая энергия — это энергия движущегося тела. Она равна работе, которую нужно совершить, чтобы разогнать тело из состояния покоя до данной скорости.
где:
- \( E_k \) — кинетическая энергия (Дж)
- \( m \) — масса тела (кг)
- \( v \) — скорость тела (м/с)
Откуда берётся формула?
Допустим, мы разгоняем тело массой \( m \) из состояния покоя силой \( F \). По второму закону Ньютона:
\( F = ma \), где \( a \) — ускорение
Работа силы при перемещении на расстояние \( s \):
\( A = Fs = mas \)
Из кинематики: \( v^2 = 2as \), откуда \( as = \frac{v^2}{2} \)
Подставляем: \( A = m \cdot \frac{v^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \)
Эта работа и есть кинетическая энергия тела!
Свойства кинетической энергии
- Всегда положительна (или равна нулю, если тело покоится)
- Зависит от скорости квадратично — удвоение скорости увеличивает энергию в 4 раза
- Относительна — зависит от системы отсчёта
Пример 1
Задача: Найдите кинетическую энергию автомобиля массой 1500 кг, движущегося со скоростью 72 км/ч.
Решение:
Переводим скорость в СИ: \( v = 72 \text{ км/ч} = 20 \text{ м/с} \)
\( E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{1500 \cdot 20^2}{2} = \frac{1500 \cdot 400}{2} = 300\,000 \text{ Дж} = 300 \text{ кДж} \)
Ответ: 300 кДж
Потенциальная энергия
Определение
Потенциальная энергия — это энергия, связанная с положением тела в поле сил (гравитационном, упругом). Она равна работе, которую совершит сила при перемещении тела в положение с нулевой энергией.
Потенциальная энергия в поле тяжести
где:
- \( E_p \) — потенциальная энергия (Дж)
- \( m \) — масса тела (кг)
- \( g \) — ускорение свободного падения (≈ 10 м/с²)
- \( h \) — высота над уровнем отсчёта (м)
Нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно! Обычно это поверхность земли, но в задаче может быть указан другой уровень. Ответ не зависит от выбора нулевого уровня, если правильно записать закон сохранения энергии.
Потенциальная энергия упругой деформации
где:
- \( k \) — жёсткость пружины (Н/м)
- \( x \) — деформация (удлинение или сжатие) пружины (м)
Пример 2
Задача: Мяч массой 0,5 кг бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какую максимальную высоту он поднимется?
Решение:
В начальный момент вся энергия кинетическая:
\( E_{k,0} = \frac{mv_0^2}{2} = \frac{0.5 \cdot 400}{2} = 100 \text{ Дж} \)
В верхней точке вся энергия потенциальная (v = 0):
\( E_p = mgh_{max} \)
По закону сохранения энергии: \( E_{k,0} = E_p \)
\( \frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max} \)
\( h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20 \text{ м} \)
Ответ: 20 м
Сравнение кинетической и потенциальной энергии
| Характеристика | Кинетическая | Потенциальная |
|---|---|---|
| Связана с | Движением | Положением |
| Формула (механика) | \( \frac{mv^2}{2} \) | \( mgh \) или \( \frac{kx^2}{2} \) |
| Зависит от | Скорости | Высоты или деформации |
| Может быть отрицательной? | Нет (≥ 0) | Да (если h < 0) |
| Требует выбора нуля? | Нет | Да |
Закон сохранения механической энергии
Полная механическая энергия — это сумма кинетической и потенциальной энергий:
Закон сохранения: в замкнутой системе, где действуют только консервативные силы (тяжести, упругости), полная механическая энергия сохраняется:
\( E_1 = E_2 \) или \( \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 \)
Если в системе есть трение или другие неконсервативные силы, механическая энергия уменьшается. Часть энергии переходит во внутреннюю (тепловую) энергию. Это изменение равно работе силы трения: \( \Delta E = A_{тр} \)
Теорема о кинетической энергии
Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело:
Эта теорема работает всегда, даже когда закон сохранения энергии неприменим!
FAQ: Частые вопросы
Нет. Кинетическая энергия всегда ≥ 0, так как \( m > 0 \) и \( v^2 \geq 0 \).
Механическая энергия уменьшается, превращаясь во внутреннюю (тепловую) энергию. Тела нагреваются.
Выбирайте так, чтобы упростить расчёты. Обычно это нижняя точка траектории или поверхность земли.
Это следует из связи работы и перемещения. При торможении путь пропорционален квадрату начальной скорости: \( s = \frac{v^2}{2a} \).
Типичные задачи ЕГЭ
Задача 1 (базовая)
Тело массой 2 кг падает с высоты 5 м без начальной скорости. Найдите его скорость у поверхности земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение: По ЗСЭ: \( mgh = \frac{mv^2}{2} \)
\( v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10 \text{ м/с} \)
Задача 2 (с пружиной)
Шарик массой 0,1 кг скатывается с горки высотой 0,8 м на сжатую пружину (k = 200 Н/м, сжатие 0,2 м). Какую максимальную скорость приобретёт шарик?
Решение: Максимальная скорость — когда пружина вернулась в недеформированное состояние.
\( mgh + \frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \)
\( v = \sqrt{2gh + \frac{kx^2}{m}} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.8 + \frac{200 \cdot 0.04}{0.1}} = \sqrt{16 + 80} = \sqrt{96} \approx 9.8 \text{ м/с} \)