Законы сохранения — один из самых мощных инструментов решения задач по физике. Они позволяют найти ответ там, где законы Ньютона требуют сложных вычислений.
В этой статье разберём, когда и какой закон применять, и отработаем алгоритм на типовых задачах ЕГЭ.
Два главных закона
Закон сохранения импульса (ЗСИ)
Импульс — это мера движения тела: \( \vec{p} = m\vec{v} \)
Условие применимости: система тел должна быть замкнутой — внешние силы равны нулю или компенсируются.
Закон сохранения энергии (ЗСЭ)
Условие применимости: в системе действуют только консервативные силы (тяжести, упругости). Если есть трение — энергия не сохраняется!
Когда какой закон применять?
Используйте ЗСИ, если:
- Тела сталкиваются или разлетаются
- Происходит взрыв или распад
- Человек прыгает с лодки/тележки
- Нужно найти скорость после столкновения
Используйте ЗСЭ, если:
- Тело движется по горке, маятник
- Нужно найти скорость в какой-то точке траектории
- Тело на пружине (без трения)
- Свободное падение или бросок
Используйте ОБА закона, если:
- Абсолютно упругий удар (тела разлетаются)
- Сложные задачи на столкновения
- Маятники, сталкивающиеся в нижней точке
| Характеристика | ЗСИ | ЗСЭ |
|---|---|---|
| Что сохраняется | Сумма импульсов | Сумма энергий |
| Векторный? | Да (нужны проекции!) | Нет (скаляр) |
| Условие | Замкнутая система | Нет неконсервативных сил |
| При трении | Работает! | НЕ работает |
ЗСИ работает при трении (если система замкнута), а ЗСЭ — нет! Это часто определяет выбор метода.
Алгоритм решения
5 шагов к решению
- Определите систему тел. Какие тела участвуют во взаимодействии?
- Проверьте условия. Замкнута ли система? Есть ли трение?
- Выберите закон. ЗСИ, ЗСЭ или оба?
- Запишите закон. Для ЗСИ — в проекциях на оси! Для ЗСЭ — выберите нулевой уровень энергии.
- Решите уравнение относительно искомой величины.
Типы столкновений
Абсолютно неупругий удар
Тела слипаются и движутся вместе. Энергия НЕ сохраняется (часть уходит на деформацию).
Пример: неупругий удар
Задача: Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 2 м/с, сцепляется с неподвижным вагоном массой 30 т. Найдите скорость после сцепки.
Решение:
По ЗСИ: \( m_1v_1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2)v \)
\( v = \frac{m_1v_1}{m_1 + m_2} = \frac{20000 \cdot 2}{20000 + 30000} = \frac{40000}{50000} = 0.8 \) м/с
Ответ: 0,8 м/с
Абсолютно упругий удар
Тела разлетаются. Сохраняются И импульс, И энергия!
Для центрального удара двух шаров:
При упругом ударе нельзя просто написать, что тела слипаются! Нужна система из двух уравнений: ЗСИ и ЗСЭ.
Задачи на ЗСЭ
Пример: маятник
Задача: Математический маятник длиной 1 м отклонили на угол 60° и отпустили. Найдите скорость в нижней точке.
Решение:
Находим высоту подъёма: \( h = L - L\cos\alpha = L(1 - \cos 60°) = 1 \cdot (1 - 0.5) = 0.5 \) м
По ЗСЭ: \( mgh = \frac{mv^2}{2} \)
\( v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.5} = \sqrt{10} \approx 3.16 \) м/с
Ответ: ≈ 3,2 м/с
Пример: горка
Задача: Санки съезжают с горки высотой 5 м. На горизонтальном участке они проезжают 20 м до остановки. Найдите коэффициент трения.
Решение:
ЗСЭ с учётом работы трения: \( mgh = A_{тр} = \mu mg \cdot s \)
\( h = \mu s \)
\( \mu = \frac{h}{s} = \frac{5}{20} = 0.25 \)
Ответ: μ = 0,25
Комбинированные задачи
Пример: баллистический маятник
Задача: Пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в деревянный брусок массой 990 г, подвешенный на нити, и застревает в нём. На какую высоту поднимется брусок?
Решение:
Этап 1: столкновение (ЗСИ)
\( m_1v_1 = (m_1 + m_2)v \)
\( v = \frac{m_1v_1}{m_1 + m_2} = \frac{0.01 \cdot 400}{0.01 + 0.99} = \frac{4}{1} = 4 \) м/с
Этап 2: подъём (ЗСЭ)
\( \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = (m_1 + m_2)gh \)
\( h = \frac{v^2}{2g} = \frac{16}{20} = 0.8 \) м
Ответ: h = 0,8 м
В баллистическом маятнике нельзя сразу использовать ЗСЭ для всего процесса! При неупругом ударе энергия теряется. Поэтому сначала ЗСИ (для столкновения), потом ЗСЭ (для подъёма).
Типичные ошибки
- Забыли про знаки в ЗСИ. Импульс — вектор! Если тела движутся навстречу, их импульсы вычитаются.
- Применили ЗСЭ при трении. Если есть трение, энергия не сохраняется — нужно учесть работу трения.
- Путаница с упругим и неупругим ударом. При неупругом — тела слипаются. При упругом — разлетаются.
- Не выбрали нулевой уровень энергии. Для ЗСЭ нужно указать, где h = 0.
- Использовали ЗСЭ для столкновения. При любом реальном столкновении часть энергии теряется!
Шпаргалка: что когда использовать
| Тип задачи | Какой закон |
|---|---|
| Столкновение с слипанием | Только ЗСИ |
| Упругий удар | ЗСИ + ЗСЭ |
| Движение по горке (без трения) | ЗСЭ |
| Движение с трением | ЗСЭ + работа трения |
| Маятник | ЗСЭ |
| Пружина | ЗСЭ |
| Баллистический маятник | ЗСИ → ЗСЭ |