Колебания и волны: полный разбор для ЕГЭ

Колебания и волны — раздел, который объединяет механику и электромагнетизм. На ЕГЭ это около 10% заданий, но формулы схожи для разных типов колебаний.

В этой статье разберём механические и электромагнитные колебания, а также основы волновой оптики.

Базовые понятия

Колебания — периодически повторяющиеся движения или процессы.

Ключевые величины:

Период T — время одного полного колебания (с)
Частота ν (или f) — число колебаний в секунду (Гц)
Амплитуда A — максимальное отклонение от положения равновесия
Циклическая частота ω — угловая скорость колебаний (рад/с)

\( T = \frac{1}{\nu} \), \( \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T} \)

Механические колебания

Математический маятник

Груз на невесомой нерастяжимой нити.

\( T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \)

где L — длина нити, g — ускорение свободного падения.

Важно!

Период математического маятника НЕ зависит от массы груза и амплитуды (при малых углах отклонения).

Пружинный маятник

Груз на пружине.

\( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)

где m — масса груза, k — жёсткость пружины.

Важно!

Период пружинного маятника НЕ зависит от g. Он одинаков на Земле и на Луне!

Сравнение маятников

Параметр	Математический	Пружинный
Период	\( 2\pi\sqrt{L/g} \)	\( 2\pi\sqrt{m/k} \)
Зависит от массы?	Нет	Да
Зависит от g?	Да	Нет
Энергия	\( E = mgh_{max} \)	\( E = \frac{kA^2}{2} \)

Энергия колебаний

В любой момент полная механическая энергия колебательной системы:

\( E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2} = const \)

При прохождении положения равновесия: \( E_p = 0 \), \( E_k = max \)

В крайних точках: \( E_k = 0 \), \( E_p = max \)

Уравнение гармонических колебаний

\( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0) \)

или через синус:

\( x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0) \)

где \( \varphi_0 \) — начальная фаза.

Скорость и ускорение:

\( v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0) \), \( v_{max} = A\omega \)
\( a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x \), \( a_{max} = A\omega^2 \)

Электромагнитные колебания

Колебания в LC-контуре (катушка + конденсатор).

Период колебаний в контуре (формула Томсона)

\( T = 2\pi\sqrt{LC} \)

где L — индуктивность катушки, C — ёмкость конденсатора.

Аналогия механических и электромагнитных колебаний

Механика (пружина)	Электричество (контур)
Координата x	Заряд q
Скорость v	Сила тока I
Масса m	Индуктивность L
Жёсткость k	1/C
\( E_k = \frac{mv^2}{2} \)	\( W_L = \frac{LI^2}{2} \)
\( E_p = \frac{kx^2}{2} \)	\( W_C = \frac{q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2} \)

Волны

Волна — распространение колебаний в среде (или в пространстве для электромагнитных волн).

\( v = \lambda\nu = \frac{\lambda}{T} \)

где v — скорость волны, λ — длина волны.

Типы волн

Поперечные — колебания перпендикулярны направлению распространения (свет, волны на воде)
Продольные — колебания вдоль направления распространения (звук в воздухе)

Электромагнитные волны

Скорость в вакууме: \( c = 3 \cdot 10^8 \) м/с

Связь с частотой: \( c = \lambda\nu \)

Разбор задачи

Задача (ЕГЭ)

Груз массой 0,5 кг совершает колебания на пружине жёсткостью 200 Н/м. Найдите период колебаний, максимальную скорость, если амплитуда 5 см.

Решение:

1. Период:

\( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{200}} = 2\pi\sqrt{0.0025} = 2\pi \cdot 0.05 = 0.314 \) с

2. Циклическая частота:

\( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.314} = 20 \) рад/с

3. Максимальная скорость:

\( v_{max} = A\omega = 0.05 \cdot 20 = 1 \) м/с

Ответ: T ≈ 0,31 с, v_max = 1 м/с